UR+の価値

突然ですが、問題です。

【 問題 】 　１体の当たりモンスターを含む100体入りのボックスガチャと、 　３体の当たりモンスターを含む300体入りのボックスガチャ。 　どちらがお得？

　　① １体の当たりモンスター含む100体のボックスガチャ 　　② ３体の当たりモンスター含む300体のボックスガチャ 　　③ どちらも同じ

いかがですか？ 当たりモンスターの割合はどちらも１％だから同じでは・・・？ そう思いがちですが、実は違うのです。

最初の１回はどちらも 1/100 の確率で当たりモンスターが出ますが、問題は外れた場合です。 ハズレを引けば引くほど当たりの確率が上がっていくのがボックスガチャの魅力ですが、①は１体ハズレを引けば 1/99 に確率が上がるのに対し、②は３体ハズレを引かなければ 1/99 になりません。 つまり、①の方が②より当たりの確率の上がり方が３倍早いのです。

実際、当たりモンスター１体あたりのガチャの平均回数を計算すると、①は50.5回で済むのに対し、②は約65.1回もかかるという結果になります。

ということで、正解は ① です。

では、次の問題はいかがでしょうか？

【 問題 】 　３体の当たりモンスターを含む300体入りのボックスガチャがあります。 　いま200体引いたところで２体目の当たりモンスターが出ました。 　リセットした方がいいでしょうか？

　　① リセットしない方が良い 　　② リセットした方が良い 　　③ どちらも同じ

もうお分かりですね。 残り100体のモンスターの中に当たりモンスターが１体入っていますので、リセットしないほうが当たりの確率の上がり方が早く、先程と同様に ① が正解となります。

ではリセットすべきかどうかの境目は、残り100体でないとすれば、一体どこにあるのでしょうか？ 簡単な具体例を取り上げて、その求め方を解説します。

例えば、ボックス内に５体のモンスターが入っており、そのうち２体が当たりモンスターだとします。 このとき、当たりモンスター(◆)とハズレモンスター(◇)の並び順は、

　 (1) ◆◆◇◇◇ 　 (2) ◆◇◆◇◇ 　 (3) ◆◇◇◆◇ 　 (4) ◆◇◇◇◆ 　 (5) ◇◆◆◇◇ 　 (6) ◇◆◇◆◇ 　 (7) ◇◆◇◇◆ 　 (8) ◇◇◆◆◇ 　 (9) ◇◇◆◇◆ 　(10) ◇◇◇◆◆

このように10通りあります。 ボックスをリセットすると、その後のモンスターの出方は (1) ～ (10) のうちいずれかになります。 システム上、作為がなければ、これらは同様の可能性で現れることになります。

ここで、早い段階で当たりモンスターを引いてしまうと、ボックス内の残りモンスターに占める当たりモンスターの割合が小さくなってしまうため、次のような戦略を考えてみます。

　・１体目の当たりモンスターを引いた後、ボックス内のモンスターが残り３体以上であればリセットする。 　・当たりモンスターをすべて引いたらリセットする。

このとき、それぞれの並び順に対して、このような結果になります。

　 (1) ◆◆◇◇◇　　　ガチャ１回で１体入手 　 (2) ◆◇◆◇◇　　　ガチャ１回で１体入手 　 (3) ◆◇◇◆◇　　　ガチャ１回で１体入手 　 (4) ◆◇◇◇◆　　　ガチャ１回で１体入手 　 (5) ◇◆◆◇◇　　　ガチャ２回で１体入手 　 (6) ◇◆◇◆◇　　　ガチャ２回で１体入手 　 (7) ◇◆◇◇◆　　　ガチャ２回で１体入手 　 (8) ◇◇◆◆◇　　　ガチャ４回で２体入手 　 (9) ◇◇◆◇◆　　　ガチャ５回で２体入手 　(10) ◇◇◇◆◆　　　ガチャ５回で２体入手 　───────────────────── 　　　　合　計　　　　 ガチャ24回で13体入手

(1) ～ (10) が各１回ずつ現れたとすると、ガチャ24回で13体の当たりモンスターを入手できることになり、１体あたり平均1.85回ガチャを回せば良いことが分かります。

では、戦略を変えて、リセットするタイミングを「残り３体以上」以外にした場合も考えてみます。 １体目の当たりモンスターを引いた後、ボックス内のモンスターが、

　・残り１体以上であればリセット → ガチャ20回で10体入手（平均 2.000回/体）

　　（最初の当たりモンスターを引いた時点で常にリセットする） 　・残り２体以上であればリセット → ガチャ21回で11体入手（平均 1.909回/体） 　・残り３体以上であればリセット → ガチャ24回で13体入手（平均 1.850回/体） 　・残り４体以上であればリセット → ガチャ30回で16体入手（平均 1.875回/体） 　・残り５体以上であればリセット → ガチャ40回で20体入手（平均 2.000回/体）

　　（当たりモンスターをすべて引くまでリセットしない）

このように確認することで、「１体目の当たりモンスターを引いた後、ボックス内のモンスターが残り３体以上であればリセットする」と最も平均のガチャ回数が少なく、最善であることが分かります。

理屈は簡単ですが、300体中３体が当たりのボックスガチャともなると、当たりモンスターの並び順は 300×299×298／(3×2×1) ＝ 445万5100通りにもなります。 一方、１体目の当たりを引いたときと、２体目の当たりを引いたときのリセットする・しないの境界線の選び方は 300×299／(2×1) ＝ 4万4850通りもあり、両者の組合せで 1998億1123万5000通りもの確認が必要になります。 人間の平均寿命が約25億秒程度であることを考えると、到底解けませんので、実際の計算はパソコンで行います。

その結果は次の通りです。

　最善のリセットタイミングは、 １体目の当たりモンスターを引いた後、

　　　ボックス内のモンスターが残り218体以上であればリセットする。 ２体目の当たりモンスターを引いた後、

　　　ボックス内のモンスターが残り130体以上であればリセットする。

　ガチャ回数合計: 4億7242万3801回 　当たりモンスター数合計: 725万3756体 　当たりモンスター１体あたりのガチャ回数: 65.1281…回

では、ここからが本題です。

【 問題 】 　ドラブレの UR+ の金銭的価値は最低いくらでしょうか？

　但し、以下の条件を前提とします。 　・UR+は５極とします。 　・ボックスガチャで入手する場合に限定します。

　　純SR+等とのトレードを利用した入手は考慮しません。 　・ボックス内にある３種類のURのうち、育成したいUR以外が出た場合は、

　　他のプレーヤーとUR１体同士で自由にトレードできるものとします。 　・UR+を最小コストで取得することのみを目的とし、

　　その他のモンスターの収集は一切行いません。 　・ボックスからは、作為なくすべてのモンスターが同様の確率で出現するものとします。

ドラブレのボックスガチャは、446体中に３体のURが入っていますので、実際に計算すると、

　最善のリセットタイミングは、 １体目のURを引いた後、ボックス内のモンスターが残り324体以上であればリセットする。 ２体目のURを引いた後、ボックス内のモンスターが残り193体以上であればリセットする。

　ガチャ回数合計: 23億1174万2230回 　UR合計: 2390万9888体 　UR１体あたりのガチャ回数: 96.6856…回 　UR１体あたりの金貨数: 29,005.68…金貨

となります。

但し、これはガチャを１回ずつ回す場合の結果で、11連ガチャを優先して使用すればさらに使用金貨を減らすことができます。 11連ガチャによりボックス内のモンスター残数は飛び飛びの値で変化しますが、最善のリセットタイミングの条件はそのまま適用できます。 また、441体目以降はモンスターの残数が11体に満たない為、１回ずつのガチャになり、ガチャ回数の合計から金貨数が特定できなくなりますので、直接金貨数で集計しています。 その結果、

　金貨数合計: 6519億9216万0000金貨 　UR合計: 2425万6182体 　UR１体あたりの金貨数: 26,879.42…金貨

となりました。

金貨の入手方法は 10,000円で購入すると最も割安になり、11,000金貨が手に入ります。 このとき、UR+１体の金銭的価値は、

　26,879.42金貨×10,000円／11,000金貨×５体 ≒ 12万2179円(税込)

となります。

いかがでしたでしょうか。 私自身、無課金プレーヤーですので、話の前提条件が実態に即したものになっているかすら確かめようもありませんが、最低でも平均するとこれぐらいの費用はかかっているものと思われます。

ちなみに、リセットタイミングをボックス内のURの割合が上がるかどうかで決めたとしても実はそれほど大差はなく、その場合のUR+１体の金銭的価値は 12万3041円(税込) と、0.7％程度の差でしかありません。 また、これはあくまで期待値 (十分な試行回数を実施したときに落ち着く値) ですので、各個体ごとにそれなりにばらつくと思います。

ご参考になりましたでしょうか。